题目内容
【题目】已知向量 =( sinωx,1), =(cosωx,cos2ωx+1),设函数f(x)= .
(1)若函数f(x)的图象关于直线x= 对称,且ω∈[0,3]时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)在(1)的条件下,当 时,函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围.
【答案】
(1)解:向量 ,
函数
∵函数f(x)图象关于直线 对称,
∴ (k∈Z),
解得: (k∈Z),
所以函数f(x)的单调增区间为 (k∈Z)
(2)解:由(1)知(2)由(1)知 ,
∵
∴ 函数f(x)单调递增;.
2x+ ∈[ , ],即x∈ 函数f(x)单调递减
又 ,∴当 }时函数f(x)有且只有一个零点,
∴ { }
【解析】根据平面向量数量积的坐标表示达式将f(x)用、的坐标表示,利用二倍角正余弦公式、辅助角公式将f(x)化简成y=Asin()+B的形式,令+=(kZ)可解出;令-+2k+2k(kZ),解出x即可得到f(x)的单调增区间;(2)讨论函数f(x)在[0,]内的单调性,求出f(x)的最值,然后数形结合,分类讨论..
【考点精析】根据题目的已知条件,利用正弦函数的单调性和正弦函数的对称性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在上是减函数;正弦函数的对称性:对称中心;对称轴.
【题目】某公司为评估两套促销活动方案(方案1运作费用为5元/件;方案2的运作费用为2元/件),在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案),运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示.
(1)请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由);
(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用),为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价xi(单位:元/件,整数)和销量yi(单位:件)(i=1,2,…,8)如下表所示:
售价x | 33 | 35 | 37 | 39 | 41 | 43 | 45 | 47 |
销量y | 840 | 800 | 740 | 695 | 640 | 580 | 525 | 460 |
①请根据下列数据计算相应的相关指数R2 , 并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合;
②根据所选回归模型,分析售价x定为多少时?利润z可以达到最大.
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| 49428.74 | 11512.43 | 175.26 |
| 124650 |
(附:相关指数 )