Question

【题目】已知数列满足a1＝m，an＋1＝ (k∈N*，r∈R)，其前n项和为.

(1)当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N*，数列{an}都满足an＋2＝an?

(2)对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列.若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；

(3)当m＝r＝1时，若对任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求实数λ的最大值.

Answer 1

【答案】（1）m＋r＝0；（2）见解析；（3）1.

【解析】试题分析：（1）由a3＝a1，得m＋r＝0，再证m＋r＝0满足题意即可；

（2）依题意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，则a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，当m＋r≠0时，{a2n＋1＋r}是等比数列，由题意可得p＝r，q＝2r，若m＋r＝0，则不存在实数p，q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是等比数列；

（3）当m＝r＝1时，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，由分组求和得

试题解析：

(1)由题意得a1＝m，a2＝2a1＝2m，a3＝a2＋r＝2m＋r，

由a3＝a1，得m＋r＝0.

当m＋r＝0时，因为an＋1＝ (k∈N*)，

所以a1＝a3＝…＝m，a2＝a4＝…＝2m，故对任意的n∈N*，数列{an}都满足an＋2＝an. 当n＝2k时，Sn＝3(2k＋1－k－2)，再由的单调性求最小值即可得λ≤，当n＝2k－1时，Sn＝S2k－a2k＝2k＋2－3k－4，再由的单调性求最小值即可得λ≤，从而得解.

即当实数m，r满足m＋r＝0时，符合题意.

(2)存在.依题意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，

则a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，

因为a1＋r＝m＋r，

所以当m＋r≠0时，{a2n＋1＋r}是等比数列，且a2n＋1＋r＝(a1＋r)2n＝(m＋r)2n.

为使{a2n＋1＋p}是等比数列，则p＝r.

同理，当m＋r≠0时，a2n＋2r＝(m＋r)2n，{a2n＋2r}是等比数列，欲使{a2n＋q}是等比数列，则q＝2r.

综上所述，

①若m＋r＝0，则不存在实数p，q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是等比数列；

②若m＋r≠0，则当p，q满足q＝2p＝2r时，{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列.

(3)当m＝r＝1时，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，

当n＝2k时，an＝a2k＝2k＋1－2，

Sn＝S2k＝(21＋22＋…＋2k)＋(22＋23＋…＋2k＋1)－3k

＝3(2k＋1－k－2)，所以＝3.

令ck＝，

则ck＋1－ck＝－＝＜0，

所以≥，即λ≤.

当n＝2k－1时，an＝a2k－1＝2k－1，

Sn＝S2k－a2k＝3(2k＋1－k－2)－(2k＋1－2)＝2k＋2－3k－4，

所以＝4－，同理可得≥1，即λ≤1.

综上所述，实数λ的最大值为1.