题目内容
【题目】在直角坐标系
中， 椭圆
的中心在坐标原点
，其右焦点为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为
，
是椭圆上异于
的任意一点，直线
交椭圆于另一点
，直线
交直线
于
点， 求证：
三点在同一条直线上
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得
，进而求得
的值，即可得到椭圆的标准方程；
（法二）设椭圆
的方程为
（
），列出方程组，求得
的值，得到椭圆的标准方程。
（2）设
，
，直线
的方程为
，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。
（1）（法一）设椭圆的方程为
，
∵一个焦点坐标为
，∴另一个焦点坐标为
，
∴由椭圆定义可知
，
∴，∴
，∴椭圆的方程为.
（法二）不妨设椭圆的方程为（），
∵一个焦点坐标为，∴
，①
又∵点
在椭圆上，∴
，②
联立方程①，②，解得
，
，
∴椭圆的方程为.
（2）设，，直线的方程为，
由方程组
消去
，并整理得：
，
∵
，∴
，
，
∵直线
的方程可表示为
，
将此方程与直线
联立，可求得点
的坐标为
，
∴
，
∵
，所以
，
又向量
和
有公共点
，故，
，三点在同一条直线上.
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