Question

【题目】求证：．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由题意可知x>－1，构造函数f(x)＝ex－(1＋x)，利用函数f(x)的最小值可证明 ex≥1＋x．构造函数g(x)＝1+x－ln(1＋x)，利用函数g(x)的最小值可证明1＋x >ln(1＋x)．

根据题意，应有x>－1，

设f(x)＝ex－(1＋x)，则 f′(x)＝ex －1，

由f′(x)=0，得 x=0.

当－1< x < 0时，f′(x)<0；当x > 0时，f′(x)>0．

∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min= f(0)=0．

∴ 当x>－1，f(x)≥f(0)=0，

即 ex≥1＋x．

设g(x)＝1+x－ln(1＋x)，则，

由g′(x)=0，得 x=0.

当－1< x < 0时，g′(x)<0；当x > 0时，g′(x)>0．

∴g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)min=g(0)=1．

∴ 当x>－1，g(x)≥g(0)=1>0，

即1＋x >ln(1＋x)．

综上可得：.