题目内容
【题目】如图，直三棱柱
中，侧面
是正方形， 
侧面
， 
，点
是
的中点.
（1）求证： 
//平面
；
（2）若
，垂足为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）如图，连结
， 
交于
，连结
，可证
为
的中位线，所以
，因为
面
， 
面
，所以
平面
.
（2）由已知
底面
，得
底面
，得
， 
，又
，故
， 
， 
两两垂直，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面平面
的一个法向量和平面
的一个法向量，根据二面角
的平面角为锐角，即可求得二面角
的余弦值.
试题解析：
（1）如图，连结
， 
交于
，连结
，由
是正方形，易得
为
的中点，从而
为
的中位线，所以
，因为
面
， 
面
，所以
平面
.
（2）由已知
底面
，得
底面
，得
， 
，又
，故
， 
， 
两两垂直，
如图，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
为原点建立空间直角坐标系，
设
，则
， 
， 
， 
， 
，
则
， 
， 
，
设
， 
，则由
，
得
，即得
，
于是
，所以
，
又
，所以
，解得
，
所以
， 
， 
，
设平面
的法向量是
，则
，即
，
令
，得
.
又平面
的一个法向量为
，则
，即
，
令
，得
，
设二面角
的平面角为
，则
，
由
，面
面
，可知
为锐角，
即二面角
的余弦值为
.
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