题目内容
【题目】如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角O﹣AC﹣D的余弦值.
【答案】(1)证明略(2)
【解析】
(1)由题意,求得,利用勾股定理证得
,利用线面垂直的判定定理,即可得到
平面
.
(2)由(1)知两两垂直,以
点为原点建立空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量为
,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)因为四面体ABCD中,O是BD的中点,所以CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,
所以,
所以,所以
,
因为,所以
平面
.
(2)由(1)知两两垂直,以
点为原点建立空间直角坐标系,
则,
∴,
设平面的法向量为
,
则,取
,则
,
又由平面的一个法向量为
,
设二面角的平面角为
,易知
为锐角,
则,
所以二面角的余弦值为
.
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