题目内容
【题目】已知函数,且
.
(1)求实数的值,并指出函数
的定义域;
(2)将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数
的图象,写出函数
的表达式;
(3)对于(2)中的,关于
的函数
在
上的最小值为2,求
的值.
【答案】(1);定义域
;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据,结合对数运算,即可求得参数;由真数大于零,即可求得定义域.
(2)根据左加右减的平移原则,即可容易求得;
(3)利用换元法,将问题转化为求二次函数最小值的问题,根据动轴定区间问题的处理方式,分类讨论即可.
(1)因为,且
,
故可得,解得
.
故,要使得函数有意义,
则,解得
,
故函数的定义域为
.
(2)图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数
的图象,
又因为,
故可得.
(3)由(2)可知,
故等价于:
,
令,则
则在
上的最小值为
.
又因为其对称轴为,
①当时,二次函数在
上单调递增,
故,不符合题意,故舍去;
②当时,二次函数在
单调递减,在
单调递增,
故,解得
,
故此时满足题意的;
③当时,二次函数在
上单调递减,
故,解得
,故舍去.
综上所述:.
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