Question

【题目】已知抛物线的焦点为，且过点，椭圆的离心率为，点为抛物线与椭圆的一个公共点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由点在抛物线上，可求出抛物线的方程为，设，则由抛物线的定义可得，代入抛物线方程可解得，

椭圆的离心率，所以，

又点在椭圆上，所以，解得，，可得椭圆的方程.

（2）设直线的方程为.联立消元可得，

设，， ，根据韦达定理，由，得，因为此等式对任意的都成立，所以，即.

由题意得点在椭圆内，可求实数的取值范围.

试题解析：（1）由点在抛物线上，得，解得.

所以抛物线的方程为，其焦点，

设，则由抛物线的定义可得，解得，

代入抛物线方程可得，解得，所以，

椭圆的离心率，所以，

又点在椭圆上，所以，解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为.

由，消元可得，

设，，则，，

而 ，由，得，

因为此等式对任意的都成立，所以，即.

由题意得点在椭圆内，故，即，解得.