题目内容
【题目】已知函数,其中
为实常数.
(Ⅰ)判断的奇偶性;
(Ⅱ)若对任意,使不等式
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,
为偶函数;当
时,
为非奇非偶函数;(Ⅱ)
【解析】
试题(Ⅰ)易求得函数的定义域为
,是关于原点对称的.当
时,
易得
所以
为偶函数;当
时,因为
,所以
不是奇函数;因为
所以
,故
不是偶函数.故当
时,
为非奇非偶函数.
(Ⅱ)对任意,使不等式
恒成立等价于“对任意
,使不等式
恒成立”,设
,即
,分类讨论去绝对值,再求函数
的最大值即可.
试题解析:(Ⅰ)易求得函数的定义域为
,是关于原点对称的.
当时,
所以为偶函数;
当时,因为
,所以
不是奇函数;
因为所以
,
故不是偶函数. 综合得
为非奇非偶函数.
综上所述,当时,
为偶函数;当
时,
为非奇非偶函数.
(Ⅱ)(1)当时,不等式化为
即
,
若,即
,则
矛盾.
若,即
,则
即
解得
或
所以
(2)当时,不等式化为
即
,
若即
,
结合条件,得
若即
,
即
解得
或
结合条件及(1),得
若,
恒成立. 综合得
(3)当时,不等式化为
即
,
得
即
.结合(2)得
所以,使不等式对
恒成立的
的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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