题目内容
【题目】设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是
.回答下面的问题：
（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为
的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由.
（2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大.
【答案】（1）能，见解析；（2）见解析
【解析】
（1）设平行四边形的两邻边长分别为
，两对角线长分别为
，则有
，由三角形的三边关系可得
，
，即可得证.
（2）由三角形的面积公式可得
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
时取等号，即可得到
，同理
，即
再利用基本不等式可得证.
（1）解：能.理由如下：
设平行四边形的两邻边长分别为，两对角线长分别为，则有.由三角形两边之和大于第三边可知
.又圆的直径为
，故圆形纸片能完全覆盖这个平行四边形.
（2）证明：如图，任意四边形
的各边长分别为
.
由图可知，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
.同理.
当且仅当
时取等号；
又
.
当且仅当
时取等号；
，当且仅当四边形是正方形时取等号；
故当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大.
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