题目内容
16.已知在数列{an}中,a1=2,an=an-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1,求数列{an}的通项公式.分析 通过an-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1=$(\sqrt{{a}_{n-1}}+1)^{2}$(n≥2),可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1(n≥2),进而数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$为首项、1为公差的等差数列,计算即得结论.
解答 解:an=an-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1=$(\sqrt{{a}_{n-1}}+1)^{2}$(n≥2),
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1(n≥2),
又∵$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$,
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$为首项、1为公差的等差数列,
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+(n-1),
∴an=$(n+\sqrt{2}-1)^{2}$.
点评 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{9}{2}$ | B. | 3 | C. | 6 | D. | 9 |