题目内容

7.已知直角三角形的三边长分别为a,b,c(其中c为斜边长),其内切圆半径为t,求证:r=$\frac{a+b-c}{2}$.

分析 作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,如图,根据切线的性质得OD=OE=OF=r,再证明四边形CEOF为正方形,所以CE=CF=r,然后根据切线长定理得AE=AD=b-r,BF=BD=a-r,则b-r+a-r=c,所以r=$\frac{a+b-c}{2}$.

解答 证明:作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,如图,
∵⊙O为△ABC的内切圆,
∴OD=OE=OF=r,
∵∠ACB=90°,
∴四边形CEOF为正方形,
∴CE=CF=r,
∴AE=AD=b-r,BF=BD=a-r,
∴b-r+a-r=c,
∴r=$\frac{a+b-c}{2}$.

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.熟练运用切线的性质.

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