Question

5．设A⊆R且满足：若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A且1?A．
（1）若2∈A，问A中还有哪些元素？
（2）A中能否只有一个元素，若可以求出AA，若不可以说明理由；
（3）若A是非空数集，则A中最少有几个元素？

Answer 1

分析 （1）根据集合A的元素的性质知，a与$\frac{1}{1-a}$都在集合A中，故由2∈A，再利用 $\frac{1}{1-a}$进行求解，直到求出三个元素为止，用列举法表示出来；
（2）由a与$\frac{1}{1-a}$都在集合A中，再由集合A只含有一个元素得，故假设a∈A时，有a=$\frac{1}{1-a}$进行求解，若有解则存在，若无解则不存在，
（3）由1∉A知a≠0，∴得出a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A，进一步得到得  $\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，从而得出结论．

解答 解：（1）2∈A得$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，得$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，得 $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A，
所以，A={2，-1，$\frac{1}{2}$}；
（2）设A={a}，则a=$\frac{1}{1-a}$，即a²-a+1=0，该方程无实数解；
（3）由1∉A知a≠0，∴a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A
得  $\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，
所以1-$\frac{1}{a}$是A中元素，
∴A中最少有3个元素．

点评 本题考查了元素与集合的关系，主要根据集合元素的特征进行求解，对于存在型的问题，需要先假设存在有条件列出方程进行求解说明，考查了逻辑思维能力