Question

15．求下列函数的值域（其中（1）和（4）请画出函数的图象）
（1）f（x）=$\frac{1}{x+3}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+3}$+3；
（3）f（x）=2x²-4x+3（-1＜x＜4）；
（4）f（x）=|x+1|+$\sqrt{（x-2）^{2}}$；
（5）f（x）=2x²-4x+3（-1＜x＜a）．

Answer 1

分析 （1）可认为f（x）的图象是由y=$\frac{1}{x}$的图象向左平移3个单位得到，画出图象，根据图象即可得出f（x）的值域；
（2）根据x²+3≥3求出$\frac{1}{{x}^{2}+3}$的范围，从而求出f（x）的范围，即f（x）的值域；
（3）配方，通过观察即可得到f（x）的取值范围，也即得到f（x）的值域；
（4）开平方得到$f（x）=|x+1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l}{-2x+1}&{x≤-1}\\{3}&{-1＜x＜2}\\{2x-1}&{x≥2}\end{array}\right.$，在每段上的图象为直线，画出图象，根据图象即可得出该函数的值域；
（5）配方得到f（x）=2（x-1）²+1，讨论a和区间（-1，3）的关系：a≤-1，-1＜a＜3，和a≥3，在每种情况下根据二次函数f（x）的单调性或取得顶点的情况及比较两端点值从而得出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）画出f（x）的图象如下：

$\frac{1}{x+3}≠0$；
∴该函数的值域为{f（x）|f（x）≠0}；
（2）x²+3≥3；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+3}≤\frac{1}{3}$；
∴$3＜f（x）≤\frac{10}{3}$；
∴原函数的值域为：$（3，\frac{10}{3}]$；
（3）f（x）=2（x-1）²+1≥1；
f（4）＞f（-1），f（4）=19；
∴原函数的值域为[1，19）；
（4）f（x）=|x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1}&{x≤-1}\\{3}&{-1＜x＜2}\\{2x-1}&{x≥2}\end{array}\right.$；
∴函数的图象如下：
根据图象可看出该函数的值域为[3，+∞）；
（5）f（x）=2（x-1）²+1；
①若-1＜a≤1，则f（x）在（-1，a）上单调递减；
∴f（x）∈（f（a），f（-1））=（2（a-1）²+1，9）；
∴f（x）的值域为：（2（a-1）²+1，9）；
②1＜a＜3，则f（x）≥f（1）=1；
f（-1）=f（3）；
∴f（x）的值域为：[1，9）；
③若a≥3，f（x）≥1，且f（a）≥f（-1）；
∴f（x）的值域为[1，2（a-1）²+1）．

点评 考查平移变换的变换过程，掌握反比例函数的图象，根据不等式的性质求函数值域，处理含绝对值函数的方法：去绝对值号，以及根据函数图象求函数值域的方法，根据二次函数的单调性或取得顶点情况，及比较端点值的方法求函数的值域．