Question

5．已知函数f（x）=ax²-bx+1
（1）若f（x）＞0的解集是（-3，4），求实数a，b的值；
（2）若b=a+2，且f（x）在（-2，1）上恰有一个零点，求a的取值范围．
（3）设g（x）=2${\;}^{{x}^{2}-2x}$对任意实数x₁，总存在实数x₂使f（x₁）=g（x₂），求a，b满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系，即可求出a，b的值，
（2）根据零点存在定理，分类讨论即可求出a的取值范围；
（3）根据函数的值域即可证明．

解答 解：（1）由题意知，-3、4是方程ax²-bx+1=0的两根
 故$\left\{\begin{array}{l}{-3+4=\frac{b}{a}}\\{-3×4=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{12}}\\{b=-\frac{1}{12}}\end{array}\right.$，
（2）∵b=a+2，
∴f（x）=ax²-（a+2）x+1
①f（-2）•f（-1）＜0，即（6a+5）（-1）＜0
∴$a＞-\frac{5}{6}$，
②当f（1）=0，无解，
③当f（-2）=0时，可得$a=-\frac{5}{6}$，另一根为$\frac{3}{5}$，成立． 
④f（x）有两相等实根，且根在（-2，-1）上
∴△=（a+2）²-4a=0$-2＜\frac{a+2}{2a}＜-1$，无解，
综上所述，a≥-$\frac{5}{6}$，
（3）∵x²-2x=（x-1）²-1≥-1
∴$g（x）的值域为[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
由题意知，f（x）的值域⊆g（x）的值域，
∴$f（x）有最小值，且f{（x）_{min}}≥\frac{1}{2}$
∴a＞0，$\frac{4a-{b}^{2}}{4a}$≥$\frac{1}{2}$，
∴b²≤2a（a＞0），
∴当b²≤2a时，对任意实数x₁，总存在实数x₂，使f（x₁）=g（x₂）．

点评 本题主要考查了函数的零点问题，不等式的解集，以及函数恒成立问题，属于中档题．