题目内容

3.若函数f(x)在定义域R内可导,f(1.9+x)=f(0.1-x)且(x-1)f′(x)<0,a=f(0),b=f($\frac{1}{2}$),c=f(3),则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c

分析 由(x-1)f′(x)<0,可得当x>1时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x<1时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增.又f(1.9+x)=f(0.1-x) 得到f(x)=f(2-x),可得f(3)=f[2-(-1)]=f(-1).利用单调性即可得出.

解答 解:∵(x-1)f′(x)<0,
∴当x>1时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;
当x<1时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
又f(1.9+x)=f(0.1-x),
∴f(x)=f(2-x),
∴f(3)=f[2-(-1)]=f(-1),
∵-1<0$<\frac{1}{2}$,
∴f(-1)<f(0)<f($\frac{1}{2}$),
∴b>a>c,
故选:D.

点评 本题的考点是函数的单调性与导数的关系,主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.解答关键是利用导数工具判断函数的单调性,属基础题.

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