题目内容

3.已知点$A(-\frac{1}{2},0)$,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=$\sqrt{2}$|PF|,则|OP|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

分析 求得抛物线的焦点F,设P($\frac{1}{2}$m2,m),运用两点的距离公式,结合条件|AP|=$\sqrt{2}$|PF|,计算可得m,再由两点的距离公式计算即可得到结论.

解答 解:抛物线y2=2x的焦点为F($\frac{1}{2}$,0),
设P($\frac{1}{2}$m2,m),
由|AP|=$\sqrt{2}$|PF|,
可得|AP|2=2|PF|2
即有($\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$)2+m2=2[($\frac{1}{2}$m2-$\frac{1}{2}$)2+m2],
化简得m4-2m2+1=0,
解得m2=1,
即有|OP|=$\sqrt{\frac{1}{4}{m}^{4}+{m}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

点评 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点坐标,同时考查两点的距离公式的运用,属于中档题.

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