Question

6．已知函数f（x）=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{1}{2}$|，不等式f（x）＜2的解集为M．
（1）求M；
（2）当a、b∈M时，证明：|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得等式f（x）＜2的解集为M．
（2）当a、b∈M时，可得 a²＜1，b²＜1，可得（a²-1）（1-b²）＜0，即a²+b²＜1+a²b²，从而证得|a+b|＜|1+ab|成立．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{1}{2}$|表示数轴上的x对应点到-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$对应点的距离之和，
而1和-1对应点到-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$对应点的距离之和正好等于2，
故不等式f（x）＜2的解集为M=（-1，1）．
（2）当a、b∈M时，-1＜a＜1，-1＜b＜1，∴a²＜1，b²＜1，
∴（a²-1）（1-b²）＜0，即 a²+b²＜1+a²b²，∴（a+b）²＜（1+ab）²，
∴|a+b|＜|1+ab|．

点评 本题主要考查绝对值的意义，用综合法证明不等式，属于中档题．