题目内容

已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,
2
)
,且长轴长与短轴长的比为
2
:1

(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值.
(1)由已知可设椭圆C的方程为:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)

依题意:
a
b
=
2
且a2=b2+2解得:a2=4b2=2
故椭圆C的方程为:
y2
4
+
x2
2
=1
…(4分)
(2)证明:由(1)知:P(1,
2

由已知设PA:y-
2
=k(x-1)
,即:y=kx-(k-
2
)

PB:y-
2
=-k(x-1)
,即:y=-kx+(k+
2
)
…(6分)
y=kx-(k-
2
)
2x2+y2=4
得:(k2+2)x2-2k(k-
2
)+k2-2
2
k-2=0

设A(x1,y1)B(x2,y2)则:x1+1=
2k2-2
2
k
k2+2

故:x1=
k2-2
2
k-2
k2+2
同理:x2=
k2+2
2
k-2
k2+2
…(10分)
直线AB的斜率kAB=
y1-y2
x1-x2
=
k(x1+x2)-2k
x1-x2
=
k
2k2-4
k2+2
-2k
-4
2
k
k2+2
=
-8k
-4
2
k
=
2

所以:直线AB的斜率为定值.…(12分)
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