题目内容
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,
),且长轴长与短轴长的比为
:1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值.
2 |
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值.
(1)由已知可设椭圆C的方程为:
+
=1(a>b>0)
依题意:
=
且a2=b2+2解得:a2=4b2=2
故椭圆C的方程为:
+
=1…(4分)
(2)证明:由(1)知:P(1,
)
由已知设PA:y-
=k(x-1),即:y=kx-(k-
)
PB:y-
=-k(x-1),即:y=-kx+(k+
)…(6分)
由
得:(k2+2)x2-2k(k-
)+k2-2
k-2=0
设A(x1,y1)B(x2,y2)则:x1+1=
故:x1=
同理:x2=
…(10分)
直线AB的斜率kAB=
=
=
=
=
所以:直线AB的斜率为定值.…(12分)
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
依题意:
a |
b |
2 |
故椭圆C的方程为:
y2 |
4 |
x2 |
2 |
(2)证明:由(1)知:P(1,
2 |
由已知设PA:y-
2 |
2 |
PB:y-
2 |
2 |
由
|
2 |
2 |
设A(x1,y1)B(x2,y2)则:x1+1=
2k2-2
| ||
k2+2 |
故:x1=
k2-2
| ||
k2+2 |
k2+2
| ||
k2+2 |
直线AB的斜率kAB=
y1-y2 |
x1-x2 |
k(x1+x2)-2k |
x1-x2 |
k
| ||||
|
-8k | ||
-4
|
2 |
所以:直线AB的斜率为定值.…(12分)
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