题目内容

如图，直线l：y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．
（1）由直线l：y=x+b与抛物线x2=4y，消去y，
可$\end{array}\right.$得x2=4（x+b），即x2-4x-4b=0…（2分）
∵直线l与抛物线相切，
∴△=16+16b=0，即b=-1…（5分）
（2）∵抛物线的焦点为（0，1），
∴由题意可知直线l1的方程为y=x+1…（7分）
由
y=x+1
x2=4y
得x2-4x-4=0…（8分）
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=-4，
∴|BC|=
2
•|x1-x2|=
2
•
16+16
=8…（10分）
由（1）得点的坐标为A（2，1）…（11分）
∴点A到直线l1的距离d=
|2-1+1|
12+(-1)2
=
2
…（12分）
∴S△ABC=
1
2
|BC|d=4
2
…（13分）
练习册系列答案
相关题目
若椭圆
x2
12
+
y2
8
=1上有两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，则PQ的中点M的坐标是（　　）
A．(
1
3
，
1
6
)		B．(
1
2
，
1
3
)		C．(-
1
3
，-
1
2
)		D．(-
1
2
，-
1
3
)
矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点．设直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点依次为L，M，N．
（1）求以HF为长轴，以EG为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点L，M，N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）．
（3）设线段OF的n（n∈N+，n≥2）等分点从左向右依次为Ri（i=1，2，…，n-1），线段CF的n等分点从上向下依次为Ti（i=1，2，…，n-1），那么直线ERi（i=1，2，…，n-1）与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点M（0，b），△MF1F2为正三角形且周长为6，直线l：x=my+4与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范围．
已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=2
5
x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1，
3
)，又知直线l：y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求实数k值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F1，F2，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2⊥F1F2，PF2=λPF1，λ∈[
1
3
，
1
2
]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
设双曲线C的焦点在y轴上，离心率为
2
，其一个顶点的坐标是（0，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与该双曲线交于A、B两点，且A、B的中点为（2，3），求直线l的方程．
如图，已知A（-3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，A′（3，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，
2
)，且长轴长与短轴长的比为
2
：1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B．求证：直线AB的斜率为定值．

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