题目内容

已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
（1）由抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（
p
2
，0）在圆O：x2+y2=1上得：
p2
4
=1
∴p=2，
∴抛物线C1：y2=4x（3分）
同理由椭圆C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点（0，c），（0，-c）
及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，
∴a=
2
．
得椭圆C2：x2+
y2
2
=1．（6分）
（2）λ1+λ2是定值，且定值为-1．
设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）则N（0，k）．
联立方程组
y2=4x
y=k(x-1)
，消去y得：k2x2-（2k2+4）+k2=0，
∴△=16k2+16＞0，且
x1+x2=
2k2+4
k2
x1x2=1
，（9分）
由
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
得：λ1（1-x1）=x1，λ2（1-x2）=x2，
整理得：λ1=
x1
1-x1
，λ2=
x2
1-x2
，
λ1+λ2=
x1+x2-2x1x2
1-(x1+x2)+x1x2
=
2k2+4-2
k2
1-
2k2+4
k2
+1
=-1 （13分）
练习册系列答案
相关题目
如图，已知A（-3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，A′（3，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，
2
)，且长轴长与短轴长的比为
2
：1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B．求证：直线AB的斜率为定值．
一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．
在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）2+y2=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为A，B，当动点P与A，B不重合时，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+
y2
2
=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
直线l过x轴上的点M，l交椭圆
x2
8
+
y2
4
=1于A，B两点，O是坐标原点．
（1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程；
（2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由．
将曲线C1：(x-4)2+y2=4所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
1
2
得到曲线C2，将曲线C2向左（x轴负方向）平移4个单位，得到曲线C3．
（Ⅰ）求曲线C3的方程；
（Ⅱ）垂直于x轴的直线l与曲线C3相交于C、D两点（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直线AC、BD相交于点P，求P点的轨迹方程．

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