Question

【题目】已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．

(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．

(2)求直线l被圆C所截得的弦长的最小值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）方法一：设圆心C（3，4）到动直线l的距离为d，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，只要证明d＜r即可；

方法二　直线l变形为m（x﹣y+1）+（3x﹣2y）=0．利用直线系过定点，若定点在圆的内部即可；

（2）利用垂径定理和弦长公式即可得出．

试题解析：

(1)证明　方法一　设圆心C(3,4)到动直线l的距离为d，

则d＝＝≤．

∴当m＝－时，dmax＝<3(半径)．故动直线l总与圆C相交．

方法二　直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．

令解得故动直线l恒过定点A(2,3)．

而|AC|＝<3(半径)．∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．

(2)解　由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小．

∴最小值为2＝2．