题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线与直线
垂直的切线方程;
(2)求的单调递减区间;
(3)若存在,使函数
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)减区间为
和
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)求出导数,令
,求出切点坐标,可得切线方程;(2)令
解出
的单调递减区间;(3)由已知得
,分离常数,存在
使函数
成立,使
即可,对
进行求导,利用导数判断函数的单调性得到其最小值.
试题解析:(1)由已知,·······2分
设切点坐标为,令
,解得
,所以
,因此切线方程为
,即
;·······4分
(2)函数的定义域为
,
,由
,解得
或
,
所以函数的单调递减区间为
和
.·······8分
(3)因为,
由已知,若存在使函数
成立,
则只需满足当时,
即可.·······9分
又,
则,·······10分
①若,则
在
上恒成立,
所以在
上单调递增,
,
∴,又∵
,∴
.·······13分
②若,则
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
,·······15分
又∵,而
,所以一定满足条件,
综上所述,的取值范围是
.·······16分
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