题目内容
【题目】已知函数在
上是奇函数.
(1)求;
(2)对,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)令,若关于
的方程
有唯一实数解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】试题分析:(1)函数是奇函数,所以
,解方程求a.(2)对于任意
,函数f(x)恒大于0,不等式
恒成立,即不等式
恒成立,则
。(3)先求
,由
得g(2x)=mg(x+1)即
,所以
(*),令
,则方程(*)变为
。关于
的方程
有唯一实数解,所以方程
有且只有一个正根。方程的根分以下三种情况讨论①有且只有一个根且是正根②有一正根一负根③有一正根一零根,求m的范围。
试题解析:(1)因为所以
所以
(2),
所以,即
(3)因为,
即,所以
(*)
因为关于的方程
有唯一实数解,所以方程(*)有且只有一个根,
令,则方程(*)变为
有且只有一个正根,
①方程有且只有一个根且是正根,则
所以,当
时,方程
的根为
满足题意;
当时,方程
的根为
不满足题意
分
②方程有一正根一负根,则
,所以
③方程有一正根一零根,则
,所以
,此时
满足题意
综上, 的范围为
或
说明:本题第(1)问中,利用特殊值法求解也正确。
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