题目内容
【题目】已知椭圆上的一动点
到右焦点的最短距离为
,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上关于
轴对称的任意两个不同的点,连接
交椭圆
于另一点
,证明直线
与
轴相交于定点
;
(3)在(2)的条件下,过点的直线与椭圆
交于
两点,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)利用椭圆的定义和性质即可解出a、b、c;(2)利用点斜式方程得出直线PB的方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数之间的关系得出点P、B的坐标之间的关系,再利用点斜式表示直线AE的方程,进而即可证明过定点;(3)分类讨论直线MN是否与x轴垂直,与椭圆方程联立得出点MN的坐标之间的关系,再表示出,进而即可求出其取值范围.
(1)由题意可得解得
,
∴椭圆C的方程为.
(2)如图所示:
设直线PB的方程为y=k(x﹣4),B(x1,y1),E(x2,y2),
则A(x1,﹣y1).
联立,消去y化为方程(1+2k2)x2﹣16k2x+32k2﹣4=0,
∵直线PB与椭圆有两个不同的交点,∴△=(16k2)2﹣4(1+2k2)(32k2﹣4)>0.(*)
x1+x2=,
.
直线AE的方程为,
令y=0,则=
=
=
=
.故直线AE过定点Q(1,0).
(3)①当直线MN与x轴重合时,=(2,0)(﹣2,0)=﹣4;
②当直线MN与x轴不重合时,设直线MN的方程为my=x﹣1,
联立消去x化为方程(2+m2)y2+2my﹣3=0,可知△>0.
可得yM+yN=,yMyN=
.
∴=xMxN+yMyN=(myM+1)(myN+1)+yMyN=(1+m2)yMyN+m(yM+yN)+1
==﹣4+
,
∵m2≥0,∴,∴
,
∴的取值范围是
.
综上可知:的取值范围是
.
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