题目内容

已知函数
(1)若的单调增区间是(0,1)求m的值。
(2)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围。
(1);(2)由

试题分析:(1)先求出导函数f'(x),根据函数f(x)在区间(0, )上单调递增,在区间( ,1)上单调递减,可知x=是函数的极值,从而f'()=0,解之即可求出m的值;
(2)本小问可转化成f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6>3m在区间[-1,1]恒成立,即3mx2-6(m+1)x+6>0在区间[-1,1]恒成立,将x=-1和x=1代入使之成立,即可求出m的范围
(1)

的解集为(0,1),
则0,1是关于x的方程的两根

(2)由已知,当

又m<0,要使上恒成立
只需满足
点评:解决该试题的关键是利用导数得到函数的单调去甲,以及函数的极值,进而得到从那数m的值,同时对于恒成立问题的转化思想的运用,求解最值得到参数的范围。
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