Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为.右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若，设直线，延长交直线于点，线段的中点为，求证:点关于直线的对称点在直线上

Answer 1

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

(1)求出关于的表达式再利用离心率求解即可.

(2) 直线的方程为,进而求得,.再联立与椭圆的方程,进而求得的坐标为,再求直线的斜率,利用二倍角的正切公式证明即可.

(1)因为椭圆,所以,

又,所以,所以椭圆的离心率

(2)直线的方程为,将代入得,

所以.

因为为线段的中点,所以,因为焦点的坐标为,

所以直线的斜率,

联立消去得,

由,且

所以点的坐标为

所以直线的斜率

而直线的斜率为,若设,则有,

即.

所以点关于直线的对称点在直线上,