题目内容
【题目】已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
．
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可。
（2）分类讨论
和
,构造函数
,讨论
的性质即可得到a的范围。
详解：（1）当
时，
，
.
设函数
，则
.
当
时，
；当
时，
.故当
时，
，且仅当
时，
，从而
，且仅当时，
.
所以
在
单调递增.
又
，故当时，
；当时，
.
（2）（i）若
，由（1）知，当时，
，这与是的极大值点矛盾.
（ii）若
，设函数
.
由于当
时，
，故
与符号相同.
又
，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果
，则当
，且时，
，故不是的极大值点.
如果
，则
存在根
，故当
，且时，
，所以不是的极大值点.
如果
，则
.则当
时，；当
时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上，
.
【题目】武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．
（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；
（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；
参考公式及数据：
40，
660，
xiyi＝206630，x
12968，
，
，
（3）公司策划部选
1200lnx+5000和
═
x3+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：
|
| |
| 52446.95 | 122.89 |
| 124650 | |
相关指数 | R | R |
相关指数：R2＝1
．
（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？
【题目】第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别 |
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|
|
|
|
|
|
频数 | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设
，
分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，
的值四舍五入取整数），并计算
；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为
，抽中价值为30元的纪念品B的概率为
.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：
；
；
.）
