题目内容
【题目】在四棱锥中,平面平面,为等边三角形,,,,点是的中点.
(1)求证:平面PAD;
(2)求二面角P﹣BC﹣D的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)要证明线面平行,关键是证明线线平行,所以取中点,连结,,根据条件证明;
(2)取中点,连结,可证明平面,取中点,连结,则,以为原点,如图建立空间直角坐标系,求平面的法向量,用两个平面的法向量求二面角的余弦值.
证明:(1)取中点,连结,.
因为为中点,所以,.
因为,.所以且.
所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)取中点,连结.
因为,所以.
因为平面平面,
平面平面,平面,
所以平面.取中点,连结,则.
以为原点,如图建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
,.
平面的法向量,
设平面的法向量,
由,得.
令,则,.
由图可知,二面角是锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
【题目】某公司的营销部门对某件商品在网上销售情况进行调查,发现当这件商品每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过统计得到以下表:
(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合该商品销量(百件)与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测若返回6个点时该商品每天销量;
(2)该公司为了在购物节期间对所有商品价格进行新一轮调整,随机抽查了上一年购物节期间60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表:
网购金额 (单位:千元) | 合计 | ||||||
频数 | 3 | 9 | 9 | 15 | 18 | 6 | 60 |
若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”.该营销部门为了进步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设为选取的3人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望.
参考公式及数据:①,;②.