Question

【题目】设函数，其中a为常数：e≈2.71828为自然对数的底数．

（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

（2）若x＞0，不等式恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝2（2）a∈（0，1]

【解析】

（1）求导得到，求出切线方程为，利用截距相等得到答案。

（2）讨论和两种情况，得到，设函数，讨论和两种情况得到答案。

（1）f′（x），f′（0）＝1﹣a，f（0）＝1，

故切线方程是y＝（1﹣a）x+1，由已知得1，解得：a＝2；

（2）当a＜0时，取x0∈（0，），f（x0）0，而0与已知矛盾

当a＞0时，对x＞0，f（x）即

故11所以ax+1＜ex，

设函数g（x）＝ex﹣ax﹣1（x＞0），则g′（x）＝ex﹣a（x＞0），

①当0＜a≤1时，g′（x）＞0恒成立，

故g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）＝0，（x＞0），

从而不等式ax+1＜ex对任意x＞0恒成立，于是f（x）对任意x＞0恒成立，

②当a＞时，由g′（x）＜0，得0＜x＜lna，故g（x）在（0，lna）递减，

故g（lna）＜g（0）＝0，这与g（x）＞0对任意x＞0恒成立矛盾，

综上所述：a∈（0，1]．