Question

【题目】已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=f（x）﹣ 在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为， …①，

∴ ，∴ …②

由①②得， ，

（2）解：

由

= ．

得： ，

令t=2x，则t＞0，即方程 …（*）只有一个大于0的根，

①当a=1时， ，满足条件；

②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则 ，∴a＞1，

③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，

则△=8a2+4（a﹣1）=0，∴ ，a=﹣1（舍） 时， ，

综上： 或a≥1

【解析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对a讨论，结合二次函数的性质求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．