题目内容

【题目】f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(
A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
C.(﹣3,0)∪(3,+∞)
D.(﹣3,0)∪(0,3)

【答案】A
【解析】解:令h(x)=f(x)g(x),则h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x),因此函数h(x)在R上是奇函数. ①∵当x<0时,h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,∴h(x)在x<0时单调递增,
故函数h(x)在R上单调递增.
∵h(﹣3)=f(﹣3)g(﹣3)=0,
∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(﹣3),
∴x<﹣3.
②当x>0时,函数h(x)在R上是奇函数,可知:h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(3)=﹣h(﹣3)=0,
∴h(x)<0,的解集为(0,3).
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3).
故选:A
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇),还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键.

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