题目内容

18.若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意x,y∈R+,都有f($\frac{x}{y}$)=f(x)-f(y),且x>1时,f(x)<0(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明.

分析 (1)令x=y=1,结合条件即可得到f(1)的值;
(2)f(x)在(0,+∞)上为减函数.设0<m<n,即$\frac{n}{m}$>1,由条件,可得f(m),f(n)的大小,由单调性的定义即可得到.

解答 解:(1)令x=y=1,由f($\frac{x}{y}$)=f(x)-f(y),
可得f(1)=f(1)-f(1),
即有f(1)=0;
(2)函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
证明:设0<m<n,即$\frac{n}{m}$>1,
由x>1时,f(x)<0,可得f($\frac{n}{m}$)<0,
由f($\frac{x}{y}$)=f(x)-f(y),
可得f(n)-f(m)<0,即f(n)<f(m),
则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.

点评 本题考查抽象函数的单调性的判断和证明,同时考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,属于基础题.

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