Question

10．求过点P（2，4），并且与圆（x-1）²+（y+3）²=1相切的直线方程．

Answer 1

分析 先判断直线斜率不存在时，是否满足条件，若直线的斜率存在，设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．

解答 解：当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=2，
此时圆心（1，-3）到x=2的距离等于圆的半径1，满足条件；
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y-2k+4=0，
此时圆心到直线的距离d=$\frac{|k+3-2k+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=$\frac{24}{7}$，
此时切线的方程为：$\frac{24}{7}$x-y-$\frac{48}{7}$+4=0，即24x-7y-20=0，
综上所述，过点P（2，4），并且与圆（x-1）²+（y+3）²=1相切的直线方程为：x=2，或24x-7y-20=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查切线方程．若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不存在时的情况，不要漏解．