Question

【题目】已知函数

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用导数几何意义得：曲线在处的切线斜率等于该点处导数值，k=f′（1）＝e，而f（1）＝2，利用点斜式得切线方程为（2）先调整所证不等式：等价于，再利用导数分别研究左右函数最值：设函数g（x）＝xln x，g（x）在（0，＋∞）上的最小值为g＝－；设函数h（x）＝xe－x－，则h（x）在（0，＋∞）上的最大值为h（1）＝－．但两个函数取最值时的自变量不同，因此等于号取不到，从而得证．

试题解析：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故曲线在处的切线方程为；

（2）证明：由（1）知，f（x）＝exln x＋ex－1，

从而等价于．

设函数g（x）＝xln x，

则g′（x）＝1＋ln x，

所以当x∈时，g′（x）<0；

当x∈时，g′（x）>0．

故g（x）在上单调递减，在上单调递增，从而g（x）在（0，＋∞）上的最小值为

g＝－．

设函数h（x）＝xe－x－，则h′（x）＝e－x（1－x）．

所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0；

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）<0．

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而h（x）在（0，＋∞）上的最大值为

h（1）＝－．

因为gmin（x）＝g＝h（1）＝hmax（x），

所以当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1．