题目内容
【题目】设区间,定义在
上的函数
(
),集合
.
(1)若,求集合
;
(2)设常数.
① 讨论的单调性;
② 若,求证:
.
【答案】(1)(2)①见解析;②见证明
【解析】
(1)把b代入函数解析式,求出导函数,由f′(x)
0,可知f(x)在[﹣3,3]上为增函数,求出函数的最小值,由最小值大于0求得a的取值范围;
(2)①求出函数的导函数,解得导函数的零点,然后根据与3的关系分类求得函数的单调区间;
②当b<﹣1时,由①可知,当0<a时,求得函数的最小值小于0,得到矛盾,故此时实数a不存在;当a
时,由①可得f(x)min={f(﹣3),f(
)},得到f(﹣3)<0,这与x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此时实数a不存在;若f(﹣3)>0,证明f(
)<0,这与x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此时实数a不存在.
(1)当时,
,则
.
由可知
恒成立,故函数
在
上单调递增,
所以,解得
,
所以集合
(2)① 由得
,
因为,则由
,得
.
在上列表如下:
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
(ⅰ)当,即
时,
则,所以
在
上单调递减;
(ⅱ)当,即
时,此时
,
在
和
上单调递增;在
上单调递减.
综上,当时,
在
上单调递减;
当时,
在
,
上单调递增;
在上单调递减
②(方法一)当时,由①可知,
(ⅰ)当时,
在
上单调递减,
所以,
这与恒成立矛盾,故此时实数
不存在;
(ⅱ)当时,
在
,
上单调递增;
在上单调递减,
所以.
若,这与
恒成立矛盾,
故此时实数不存在;
若,此时
,
又,则
,
.
下面证明,也即证:
.
因为,且
,则
,
下证:.
令,则
,
所以在
上单调递增,所以
,即
.
这与恒成立矛盾,故此时实数
不存在.
综上所述,.
(方法二)(ⅰ)当时,
成立;
(ⅱ)当时,由题意可知
恒成立,则
,
设,则
,
令,解得
.
因为,所以
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,所以
;
(ⅲ)当时,由题意可知
恒成立,则
.
设,则
,
因为,所以
恒成立,所以
在
上单调递增,
所以,
所以.
若,则存在实数
满足
,
则成立,即
,
也即成立,
则,这与
矛盾,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)