题目内容
【题目】已知函数的图像关于直线
对称,且
.
(1)求的表达式;
(2)若将图像上各点的横坐标变为原来的
,再将所得图像向右平移
个单位,得到
的图像,且关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
(1)由三角恒等变换可得,再结合函数
图像的对称性即可求出
;
(2)由三角函数图像的变换可得:将图像上各点的横坐标变为原来的
,再将所得图像向右平移
个单位,得到
的图像,则
,再作出函数
在区间
的图像,再观察函数
的图像与直线
在区间
上的交点个数即可.
解:(1)因为,
又函数的图像关于直线
对称,
则,解得
,
又,即
,
即,
(2)将图像上各点的横坐标变为原来的
,得函数图像所对应的解析式为
,再将所得图像向右平移
个单位,得到
的图像,则
,
由关于的方程
在区间
上有且只有一个实数解,
则函数的图像与直线
在区间
上有且只有一个交点,
又函数在区间
上的图像如图所示,
则数的图像与直线
在区间
上有且只有一个交点时,
或
,
即实数的取值范围为
或
.
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