题目内容
【题目】已知函数g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e为自然对数的底数)与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( )
A.[1, +2]
B.[1,e2﹣2]
C.[ +2,e2﹣2]
D.[e2﹣2,+∞)
【答案】B
【解析】解:由已知,得到方程a﹣x2=﹣2lnx﹣a=2lnx﹣x2在 上有解.
设f(x)=2lnx﹣x2 , 求导得:f′(x)= ﹣2x= ,
∵ ≤x≤e,∴f′(x)=0在x=1有唯一的极值点,
∵f( )=﹣2﹣ ,f(e)=2﹣e2 , f(x)极大值=f(1)=﹣1,且知f(e)<f( ),
故方程﹣a=2lnx﹣x2在 上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1.
从而a的取值范围为[1,e2﹣2].
故选B.
由已知,得到方程a﹣x2=﹣2lnx﹣a=2lnx﹣x2在 上有解,构造函数f(x)=2lnx﹣x2 , 求出它的值域,得到﹣a的范围即可.
练习册系列答案
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【题目】在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.