题目内容

【题目】已知集合Rn={X|X=(x1 , x2 , …,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2).对于A=(a1 , a2 , …,an)∈Rn , B=(b1 , b2 , …,bn)∈Rn , 定义A与B之间的距离为d(A,B)=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|=
(Ⅰ)写出R2中的所有元素,并求两元素间的距离的最大值;
(Ⅱ)若集合M满足:MR3 , 且任意两元素间的距离均为2,求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M;
(Ⅲ)设集合PRn , P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间的距离的平均值为 ,证明

【答案】解:(Ⅰ)R2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},A,B∈R2 , d(A,B)max=2.
(Ⅱ)R3中含有8个元素,可将其看成正方体的8个顶点,已知集合M中的元素所对应的点,应该两两位于该正方体面对角线的两个端点,所以M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)},
集合M中元素个数最大值为4.
(Ⅲ) ,其中 表示P中所有两个元素间距离的总和.
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1,m﹣ti个0,则
由于 (i=1,2,…,n)
所以
从而
【解析】(Ⅰ)根据集合的定义,写出R2中的所有元素,并求两元素间的距离的最大值;(Ⅱ)R3中含有8个元素,可将其看成正方体的8个顶点,已知集合M中的元素所对应的点,应该两两位于该正方体面对角线的两个端点,即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M;(Ⅲ) ,其中 表示P中所有两个元素间距离的总和,根据 ,即可证明结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值.

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