题目内容

9.已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=m-2|x-4|,若2f(x)≥g(x)恒成立,实数m的最大值为a.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)已知实数x,y,z满足x+y+z=a,求2x2+3y2+6z2的最小值.

分析 (1)2f(x)≥g(x)恒成立,即2(|x+1|+|x-4|)≥m恒成立,而由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x-4|≥|x+1-x+4|=5,可得m≤10,由此求得m的最大值a.
(2)由柯西不等式可得(x+y+z)2≤($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$)(2x2+3y2+6z2)=2x2+3y2+6z2,即可求2x2+3y2+6z2的最小值.

解答 解:(Ⅰ)2f(x)≥g(x)恒成立,即2(|x+1|+|x-4|)≥m恒成立,
∵|x+1|+|x-4|≥|x+1-x+4|=5,
∴m≤10,
∵实数m的最大值为a,
∴a=10;
(Ⅱ)∵x+y+z=a=10,
∴102=(x+y+z)2≤($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$)(2x2+3y2+6z2)=2x2+3y2+6z2
当且仅当x=5,y=$\frac{10}{3}$,z=$\frac{5}{3}$时,等号成立,
∴2x2+3y2+6z2的最小值为100

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用,属于中档题.

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