Question

20．关于△ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h₁，h₂，h₃，则h₁+h₂+h₃为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S₁，S₂，S₃，△ABC的面积为S，则有：S=S₁+S₂+S₃⇒h=h₁+h₂+h₃（其中h为△ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明．

Answer 1

分析 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质

解答 解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h₁，h₂，h₃，则h₁+h₂+h₃为定值，可得：
P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h₁+h₂+h₃+h₄为定值，
如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P-ABC，P-ABD，P-ACD，P-BCD的体积分别为：V₁，V₂，V₃，V₄，
由棱长为a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BE=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到
AE²=AB²-BE²，即AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，即h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，（其中h为正四面体A-BCD的高），
故正四面体的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$，
正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
则V=V₁+V₂+V₃+V₄=$\frac{1}{3}$（h₁+h₂+h₃+h₄）$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
解得：h₁+h₂+h₃+h₄=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h₁+h₂+h₃+h₄为定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．

点评 本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．