Question

【题目】若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.

（Ⅰ）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；

（Ⅱ）试分别探究形如①（）、②（且）、③（且）的函数，是否一定具有性质？并加以证明.

（Ⅲ）已知函数具有性质，求的取值范围；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）把函数代入，解出从而求解；
（Ⅱ）函数恒具有性质，即关于的方程恒有解.

分别探究形如①（）、②（且）、③（且）的函数，把其代入进行一一验证是否具有性质M；

（Ⅲ）根据具有性质，即存在x0，使得存在，使得，代入得到一个关于的方程，其中含有参数，并对进行讨论，从而求出的取值范围；

试题解析：（Ⅰ）证明： 代入得：

即，解得∴函数具有性质.

（Ⅱ）函数恒具有性质，即关于的方程（*）恒有解.

①若（），则方程（*）可化为，解得.

∴函数（）一定具备性质.

②若，则方程（*）可化为，化简得即

当时，方程（*）无解

∴函数（且）不一定具有性质.

③若，则方程（*）可化为，化简得显然方程无解

∴函数（且）不一定具有性质.

（Ⅲ）解： 的定义域为，且可得，∵具有性质，

∴存在，使得，代入得化为

整理得： 有实根

①若，得，满足题意；

②若，则要使有实根，只需满足，即，解得

∴

综合①②，可得