题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
c
a
=
6
3
a=
3
∴b=1，…．（2分）
∴所求椭圆方程为
x2
3
+y2=1．…..（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，
设A（m，m）代入椭圆方程得：m=
3
2
…．（6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立
x2
3
+y2=1
y=kx+m
，
整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴x1+x2=
-6km
3k2+1
，x1x2=
3(m2-1)
3k2+1
．…．（8分）
又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
3k2(m2-1)
1+3k2
+
-6k2m2
1+3k2
+m2=
m2-3k2
1+3k2
．
由以|AB|为直径的圆过原点，则有
OA
•
OB
=0．…..（10分）
即：x1x2+y1y2=0，故满足：
3(m2-1)
1+3k2
+
m2-3k2
1+3k2
=0得：4m2=3+3k2，所以m2=
3
4
(k2+1)．
又点O到直线AB的距离为：d=
|m|
1+k2
=
3
2
1+k2
1+k2
=
3
2
．
综上所述：点O到直线AB的距离为定值
3
2
．…（13分）
练习册系列答案
相关题目
若点P到点F（
1
2
，0）的距离与它到直线x+
1
2
=0的距离相等．
（1）求P点轨迹方程C，
（2）A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点，过A点且斜率为1的直线l与C的另一个交点为B，求C与l所围成的图形的面积．
已知点P为抛物线y2=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______．
已知抛物线C1：y=x2，F为抛物线的焦点，椭圆C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF|=
3
4
，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C1交于A，B两个不同的点，l与椭圆C2交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k2＞
1
2
，求实数a的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（1，
3
2
），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率e=
1
2

（1）求椭圆C的方程．
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=-
1
2
，求直线l的方程．
已知点B（6，0）和点C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的焦点坐标；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的离心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根据（1）和（2），你能得到什么结论？（不需要证明所得结论）
已知椭圆mx2+ny2=1，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=
10
2
，求椭圆的方程．
如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连接AD、BD得到△ABD．
（i）求实数a，b，k满足的等量关系；
（ii）△ABD的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．
若椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点为．若，则此椭圆的离心率为（　　）
A．      B．       C．     D．

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