题目内容

已知点B(6,0)和点C(-6,0),过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A,设直线l的斜率为k1,直线m的斜率为k2
(1)如果k1•k2=-
4
9
,求点A的轨迹方程,并写出此轨迹曲线的焦点坐标;
(2)如果k1•k2=
4
9
,求点A的轨迹方程,并写出此轨迹曲线的离心率;
(3)如果k1•k2=k(k≠0,k≠-1),根据(1)和(2),你能得到什么结论?(不需要证明所得结论)
(1)直线l过点B(6,0),斜率为k1,则其直线方程为:y-0=k1(x-6),所以,k1=
y
x-6

同理,k2=
y
x+6

∵k1•k2=-
4
9
,∴
y
x-6
y
x+6
=-
4
9

∴9y2=-4(x2-36)
x2
36
+
y2
16
=1
,它表示椭圆,焦点坐标为(±2
5
,0);
(2)∵k1•k2=
4
9
,∴
y
x-6
y
x+6
=
4
9
,∴9y2=4(x2-36)
x2
36
-
y2
16
=1
,它表示双曲线,离心率为
13
3

(3)∵k1•k2=k,∴
y
x-6
y
x+6
=k,∴y2=k(x2-36)
x2
36
-
y2
36k
=1

当k>0时,表示双曲线; 当k<0且k≠-1时,表示椭圆;当k=-1时,表示圆.
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