Question

已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且任意两点间的球面距离为

π

2

，则OA与平面ABC所成角的正切值是______．

Answer 1

由题意，∵球O的表面积为4π，
∴球的半径为1，
∵任意两点间的球面距离为

π

2

，
∴∠AOC=

π

2

，∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=BC=

2

．
∵VA-OBC=

1

3

S△OBC|AO|=

1

6

又 VA-OBC=

1

3

S△ABC•h（h为O到平面ABC的距离）
∵S△ABC=

3

2

∴h=

3

3

∴OA与平面ABC所成角的正弦值为

3

3

∴OA与平面ABC所成角的正切值为

2

2

故答案为

2

2