题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x+ |(a>0)
(1)当a=2时,求不等式f(x)>3的解集;
(2)证明: .
【答案】
(1)解:当a=2时,求不等式f(x)>3,即|x+2|+|x+ |>3.
而|x+2|+|x+ |表示数轴上的x对应点到﹣2、﹣
对应点的距离之和,
而0和﹣3对应点到﹣ 、
对应点的距离之和正好等于3,
故不等式f(x)>3的解集为{x|x<﹣ ,或 x>
}.
(2)证明:∵f(m)+f(﹣ )=|m+a|+|m+
|+|﹣
+a||﹣
+
|
=(|m+a|+|﹣ +a|)+(|m+
|+|﹣
+
|)≥2(|m+
|)=2(|m|+|
|)≥4,
∴要证得结论成立.
【解析】(1)当a=2时,求不等式即|x+2|+|x+ |>3,再利用对值的意义求得它的解集.(2)由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式,证得要证的结论.
【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本,需要知道基本不等式:,(当且仅当
时取到等号);变形公式:
.
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