Question

【题目】已知椭圆的离心率为, 倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.

(1)求椭圆 的方程；

(2)若直线与圆相切于点, 且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为.

①求的最大值； ②当取得最大值时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据已知得到a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程.(2) ①先把直线和椭圆的方程联立计算出，再计算出弦长|AB|和,即得的最大值；②先计算出，最后计算.

(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,

依题有：

(2)由直线与圆相切得： .

设.将直线代入椭圆的方程得：

且 .

设点到直线的距离为,故的面积为：

,

当.等号成立.故的最大值为1.

设，由直线与圆相切于点，可得，

.

.