题目内容
【题目】已知函数f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx(ω>0),f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为
.
(1)求f( )的值;
(2)将f(x)的图象上所有点向左平移m(m>0)个长度单位,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),当m取得最小值时,求g(x)的单调递增区间.
【答案】
(1)解:由题意可得:f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx
= sin2ωx﹣cos2ωx
=2sin(2ωx﹣ )
∵f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为 .
∴周期T= ,由
=
,可得ω=2.
∴f(x)=2sin(4x﹣ ),
∴f( )=2sin(4×
﹣
)=2sin
=1
(2)解:由(1)可知f(x)=2sin(4x﹣ ),则g(x)=2sin(4x+4m﹣
),
∵( ,0)为y=g(x)图象的一个对称中心,
∴2sin(4× +4m﹣
)=0,解得:4×
+4m﹣
=kπ(k∈Z),可得:m=
﹣
,
当k=1时,m取得最小值
此时g(x)=2sin(4x+ ),
由2k ≤4x+
≤2k
,k∈Z,解得g(x)的单调递增区间为:[
﹣
,
+
],k∈Z
【解析】(1)由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=2sin(2ωx﹣ ),由题意可求周期T=
,由周期公式可求ω,从而可得函数解析式,进而得解.(2)由(1)可求g(x)=2sin(4x+4m﹣
),由题意可得4×
+4m﹣
=kπ(k∈Z),可得:m=
﹣
,可求m的最小值,由2k
≤4x+
≤2k
,k∈Z,解得g(x)的单调递增区间.
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