Question

11．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a、b的值；
（2）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$是奇函数．
∴f（0）=0，即$\frac{b-1}{1+a}=0$，得b=1，
则f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-1）+f（1）=0，
∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$+$\frac{1-2}{2+a}$=0，
解得a=1．
即a=b=1．
（2）∵a=b=1．
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，则f（x）为减函数，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）
即t²-2t＞k-2t²恒成立，
即3t²-2t-k＞0恒成立，
则判别式△=4+3×4k＜0，
解得k＜-$\frac{1}{3}$，
即k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档