题目内容
【题目】设函数
.
（1）若方程
在
上有根，求实数
的取值范围；
（2）设
，若对任意的
，
都有
，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由题意可得函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在
上有零点，
h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，由此求得a的范围；
（2）对任意的
，
都有
，即
，分别求两边函数的最值即可.
（1）∵方程f（x）＝3x在上有根，
∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零点．
由于在上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是减函数，
故有h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，
求得
a＜1．
（2）对任意的，都有，
即
，
时，
的最小值为
，
时，
的最小值为
故
在
上的最小值为
（x）＝cos2x+2asinx
＝﹣sin2x+2asinx+1
令t＝sinx，因为
，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其对称轴为t＝a，
故a≤﹣1时，y＝﹣t2+2at+1
在[﹣1，1]上是减函数，最大值为﹣4a，
此时﹣4a＜1，a＞
，无解；
当﹣1＜a＜1时，当t＝a时y有最大值a2 +1，
此时a2 +1＜1，即
，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1
当a≥1时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是增函数，最大值为0
此时0＜1，显然恒成立，
综上：a的范围
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；
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．
